Algèbre linéaire (MATH-111(f))

Algèbre linéaire (MATH-111(f)), cours de première année en Sciences du vivant à l’EPFL, donné par Maude Girardin (6 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

1.1 Systèmes d'équations linéaires

1.1 Systèmes d'équations linéaires · 1.2 Matrice augmentée et opérations élémentaires · 1.3 Compatibilité : 0, 1 ou une infinité de solutions · 1.4 Solution générale

1.2 Matrices échelonnées-réduites

2.1 Matrices ligne-équivalentes · 2.2 Forme échelonnée et échelonnée-réduite · 2.3 Pivots et variables libres · 2.4 Existence et unicité des solutions

1.3 Vecteurs et équations vectorielles

3.1 Vecteurs de R^n · 3.2 Combinaisons linéaires et Vect · 3.3 Équations vectorielles · 3.4 Équation matricielle Ax = b

1.4 Indépendance linéaire et bases de R^n

4.1 Dépendance et indépendance linéaire · 4.2 Bases de R^n · 4.3 Coordonnées dans une base de R^n · 4.4 Introduction aux applications linéaires

2. Calcul matriciel : opérations

5.1 Opérations matricielles · 5.2 Produit matriciel · 5.3 Transposée et propriétés · 5.4 Matrices particulières (symétriques, triangulaires)

2.5 Matrice inverse et matrices élémentaires

6.1 Matrice inverse et propriétés · 6.2 Matrices élémentaires · 6.3 Méthode de calcul de l'inverse (Gauss-Jordan) · 6.4 Factorisation LU

3. Déterminant

7.1 Déterminant et développement par cofacteurs · 7.2 Propriétés fondamentales (lignes, produit, transposée) · 7.3 Déterminant et inversibilité · 7.4 Règle de Cramer

4. Espaces vectoriels, bases et dimension

8.1 Espaces et sous-espaces vectoriels · 8.2 Bases et dimension · 8.3 Espaces de polynômes et de matrices · 8.4 Rang et théorème du rang

4.6 Applications linéaires

9.1 Applications linéaires entre espaces vectoriels · 9.2 Noyau et image · 9.3 Matrice d'une application linéaire · 9.4 Changement de base

S10

5. Valeurs propres et diagonalisation

10.1 Valeurs et vecteurs propres · 10.2 Polynôme caractéristique · 10.3 Espaces propres et multiplicités · 10.4 Diagonalisation

S11

6. Orthogonalité et bases orthogonales

11.1 Produit scalaire, norme, orthogonalité · 11.2 Complément orthogonal · 11.3 Ensembles orthogonaux et bases orthogonales · 11.4 Algorithme de Gram-Schmidt

S12

6.9 Projections et méthode des moindres carrés

12.1 Projection orthogonale sur un sous-espace · 12.2 Factorisation QR · 12.3 Équations normales et moindres carrés · 12.4 Droite de régression

S13

7. Matrices symétriques et décomposition spectrale

13.1 Diagonalisation orthogonale des matrices symétriques · 13.2 Théorème spectral et décomposition spectrale · 13.3 Décomposition en valeurs singulières (SVD) · 13.4 Applications

S14

Révision et préparation à l'examen

14.1 Synthèse : du système linéaire à la SVD · 14.2 Théorème de la matrice inversible (bilan) · 14.3 Stratégie QCM et vrai-faux · 14.4 Examen blanc

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Un système linéaire de $m$ équations à $n$ inconnues s'écrit $Ax=b$ ; on lui associe la matrice augmentée $[A\mid b]$.
Les opérations élémentaires sur les lignes (échange, dilatation, transvection) ne changent pas l'ensemble des solutions.
Trois issues possibles et seulement trois : aucune solution, une solution unique, une infinité de solutions.
La méthode de Gauss échelonne la matrice augmentée pour lire la compatibilité et les solutions.
Géométriquement : intersection de droites ($\mathbb{R}^2$) ou de plans ($\mathbb{R}^3$).

Formules

Système : $Ax = b$, matrice augmentée $[A\mid b]$
Compatibilité : pas de ligne $[0\;\cdots\;0\mid c]$, $c\neq0$
Solution générale : $x = x_p + x_h$

À savoir

Un système linéaire n'a jamais exactement deux solutions.
Le système homogène $Ax=0$ est toujours compatible.
Deux matrices sont ligne-équivalentes si l'une s'obtient de l'autre par opérations élémentaires.

Erreurs classiques

Se tromper de signe en recopiant une équation dans la matrice augmentée.
Conclure à l'incompatibilité sans avoir fini d'échelonner.
Confondre solution particulière et solution générale.

Quelques flashcards

Combien de solutions un système linéaire peut-il avoir ?

Zéro, une, ou une infinité.

Quelles opérations préservent l'ensemble des solutions ?

Échange de lignes, multiplication par $\lambda\neq0$, ajout d'un multiple d'une autre ligne.

Quand deux matrices sont-elles ligne-équivalentes ?

Quand on passe de l'une à l'autre par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes.

Deux conditions supplémentaires de la forme réduite ?

Pivots égaux à $1$ et seuls non nuls dans leur colonne.

La forme échelonnée-réduite est-elle unique ?

Oui — contrairement aux formes échelonnées intermédiaires.

Comment lit-on le rang sur la forme échelonnée ?

C'est le nombre de pivots (lignes non nulles).

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