Analyse I (MATH-101(a))

Analyse I (MATH-101(a)), cours de première année en Sciences et ingénierie de l'environnement à l’EPFL, donné par Olivier Mila (6 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

Ensembles et logique

1.1 Ensembles et appartenance · 1.2 Union, intersection, différence, complémentaire · 1.3 Produit cartésien · 1.4 Quantificateurs et négation

Nombres réels : intervalles, sup et inf

2.1 Irrationalité et preuves par l'absurde · 2.2 Intervalles et valeur absolue · 2.3 Ensembles majorés, minorés, bornés · 2.4 Supremum, infimum, max, min

Nombres complexes I : forme cartésienne

3.1 Forme cartésienne a + bi · 3.2 Conjugué et module · 3.3 Inverse et quotient · 3.4 Plan complexe

Nombres complexes II : forme polaire et racines

4.1 Argument et forme polaire · 4.2 Formule d'Euler et forme exponentielle · 4.3 Racines n-ièmes · 4.4 Équations du second degré et factorisation dans C

Récurrence et sommes

5.1 Principe de récurrence · 5.2 Sommes et produits classiques · 5.3 Factorielle et coefficients binomiaux · 5.4 Binôme de Newton

Suites : limites et convergence

6.1 Convergence et limites infinies · 6.2 Opérations sur les limites et formes indéterminées · 6.3 Théorème des deux gendarmes · 6.4 Suites monotones et suites récurrentes

Liminf, limsup et sous-suites

7.1 Limite inférieure et limite supérieure · 7.2 Sous-suites et valeurs d'adhérence · 7.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass · 7.4 Suites de Cauchy

Séries numériques et séries entières

8.1 Séries numériques et sommes partielles · 8.2 Convergence absolue et critères (comparaison, d'Alembert, Leibniz) · 8.3 Séries à paramètre et séries entières · 8.4 Rayon et domaine de convergence

Fonctions réelles et calcul de limites

9.1 Domaine, composition, monotonie, parité · 9.2 Limites de fonctions : calculs · 9.3 Croissances comparées · 9.4 Limites usuelles

S10

Limites formelles, continuité et TVI

10.1 Définition epsilon-delta de la limite · 10.2 Caractérisation séquentielle · 10.3 Continuité et prolongement · 10.4 TVI et théorème des bornes atteintes

S11

Dérivation

11.1 Dérivée et dérivées latérales · 11.2 Règles de dérivation (produit, quotient, chaîne) · 11.3 Dérivée de la fonction réciproque · 11.4 Rolle et théorème des accroissements finis

S12

Fonctions de classe C^n et études de fonctions

12.1 Fonctions de classe C^n · 12.2 Raccords : continuité et dérivabilité par morceaux · 12.3 Études de fonctions : variations et extrema · 12.4 Règle de Bernoulli-L'Hôpital

S13

Développements limités

13.1 Formule de Taylor · 13.2 Développements limités usuels · 13.3 Opérations sur les DL · 13.4 Applications : limites et comportement local

S14

Intégration

14.1 Intégrale de Riemann et primitives · 14.2 Théorème fondamental de l'analyse · 14.3 IPP, changement de variable, éléments simples · 14.4 Intégrales impropres

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Un ensemble est décrit en extension ($\{1,2,3\}$) ou en compréhension ($\{x \in E : P(x)\}$).
Opérations : union $A\cup B$, intersection $A\cap B$, différence $A\setminus B$, complémentaire $\complement_E A = E\setminus A$.
Lois de De Morgan : $\complement(A\cap B) = \complement A\cup\complement B$ et $\complement(A\cup B) = \complement A\cap\complement B$.
Produit cartésien : $A\times B = \{(a,b) : a\in A, b\in B\}$ — couples ordonnés.
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout), $\exists$ (il existe) ; la négation échange $\forall$ et $\exists$ et nie le prédicat.

Formules

De Morgan : $\complement(A\cap B) = \complement A \cup \complement B$
$A\setminus B = A \cap \complement B$
$\neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x)$

À savoir

$A \subset B \iff A\cap B = A \iff A\cup B = B$.
Le produit cartésien n'est pas commutatif.
Distributivité : $A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)$.

Erreurs classiques

Échanger $\cup$ et $\cap$ en appliquant De Morgan.
Nier une implication en niant les deux membres.
Confondre $\in$ (appartenance) et $\subset$ (inclusion).

Quelques flashcards

Loi de De Morgan pour $\complement(A\cup B)$ ?

$\complement A \cap \complement B$.

Comment nier $\forall x, P(x)$ ?

$\exists x$ tel que $\neg P(x)$.

$A\setminus B$ en fonction de $\cap$ ?

$A\cap\complement B$.

Idée de la preuve de l'irrationalité de $\sqrt2$ ?

Absurde : $\sqrt2 = p/q$ irréductible force $p$ et $q$ pairs, contradiction.

Définition du supremum ?

Le plus petit des majorants.

$\{x : |x+1|\le 1\}$ en intervalle ?

$[-2, 0]$.

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