Physique avancée I (mécanique) (PHYS-100)

Physique avancée I (mécanique) (PHYS-100), cours de première année en Physique à l’EPFL, donné par Paolo Ricci (8 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

1. Ordres de grandeur et analyse dimensionnelle

1.1 Grandeurs, unités SI et dimensions · 1.2 Estimation de Fermi (ordres de grandeur) · 1.3 Analyse dimensionnelle et lois d'échelle · 1.4 Rappels : produit scalaire, produit vectoriel, dérivées

2. Cinématique du point

2.1 Équation horaire, vitesse et accélération · 2.2 Mouvement rectiligne uniformément accéléré · 2.3 Algèbre des vecteurs et bases orthonormées · 2.4 Mouvement en trois dimensions

3. Repères et systèmes de coordonnées

3.1 Accélérations tangentielle et normale, rayon de courbure · 3.2 Coordonnées polaires : vitesse et accélération · 3.3 Coordonnées cylindriques et sphériques · 3.4 Changement de repère et rotation des axes

4. Les lois de Newton

4.1 Première loi et référentiels galiléens · 4.2 Deuxième loi : force, masse, équation du mouvement · 4.3 Troisième loi : action et réaction · 4.4 Remonter à la force depuis la trajectoire

5. Dynamique du point matériel

5.1 Forces fondamentales : gravitation, électromagnétisme · 5.2 Frottements visqueux · 5.3 Frottements secs : lois de Coulomb · 5.4 Liaisons, réaction normale et condition de décollement

6. Quantité de mouvement, travail et énergie

6.1 Quantité de mouvement et impulsion · 6.2 Travail et théorème de l'énergie cinétique · 6.3 Forces conservatives et énergie potentielle · 6.4 Diagrammes d'énergie potentielle

7. Moment cinétique et gravitation

7.1 Moment cinétique et théorème du moment cinétique · 7.2 Forces centrales et conservation de $L$ · 7.3 Potentiel effectif et trajectoires · 7.4 Gravitation et lois de Kepler

8. Les oscillations

8.1 Oscillateur harmonique : petites oscillations · 8.2 Oscillations amorties et régimes · 8.3 Oscillations forcées et résonance · 8.4 Oscillateurs couplés et non harmoniques

9. Référentiels non absolus

9.1 Dérivation d'un vecteur dans un repère mobile · 9.2 Composition des vitesses et des accélérations · 9.3 Force centrifuge et force d'Euler · 9.4 Force de Coriolis

S10

10. Effets de la rotation terrestre et systèmes de particules

10.1 Poids apparent et déviation vers l'est · 10.2 Centre de masse et théorème du centre de masse · 10.3 Moment cinétique d'un système (König) · 10.4 Énergie d'un système de particules

S11

11. Chocs et collisions

11.1 Chocs élastiques à une dimension · 11.2 Chocs mous et perte d'énergie · 11.3 Référentiel du centre de masse · 11.4 Systèmes de masse variable (fusée)

S12

12. Corps solide : rotation autour d'un axe fixe

12.1 Moment d'inertie et calcul intégral · 12.2 Théorème de Steiner (axes parallèles) · 12.3 Théorème du moment cinétique pour un solide · 12.4 Roulement sans glissement

S13

13. Oscillations d'un solide et synthèse

13.1 Pendule composé et pendule de torsion · 13.2 Énergie potentielle et stabilité d'un équilibre · 13.3 Pulsation des petites oscillations · 13.4 Chocs avec rotation propre

S14

14. Mouvement général d'un corps solide

14.1 Tenseur d'inertie et axes principaux · 14.2 Moment cinétique non parallèle à $\omega$ · 14.3 Équations d'Euler · 14.4 Précession et effets gyroscopiques

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Toute grandeur physique porte une **dimension**, combinaison de $[L]$, $[M]$, $[T]$ (et $[I]$, $[\Theta]$…). Une équation dont les deux membres n'ont pas la même dimension est **fausse**, sans exception.
L'**analyse dimensionnelle** donne la forme d'une loi à une constante sans dimension près. Elle ne peut jamais fournir cette constante : c'est sa limite, et Ricci y insiste.
Méthode : écrire la grandeur cherchée comme $X=k\,a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$, poser l'égalité des dimensions, résoudre le système linéaire sur $\alpha,\beta,\gamma$.
L'**estimation de Fermi** décompose une question absurde en facteurs que l'on sait majorer et minorer. On vise l'ordre de grandeur, pas le chiffre.
Rappels de calcul indispensables dès la semaine 2 : $\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos\theta$, $\|\vec{a}\times\vec{b}\|=ab\sin\theta$, et $|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|$ est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs.

Formules

$[G]=\dfrac{[L]^3}{[T]^2[M]}$ pour que $F_G=G\dfrac{M_1M_2}{r^2}$ soit homogène
Pendule simple : $T=k\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ — la masse n'intervient pas
Rayon de Schwarzschild : $R\sim\dfrac{GM}{c^2}$
Explosion de Taylor : $R=k\left(\dfrac{E\,t^2}{\rho_0}\right)^{1/5}$
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$

À savoir

L'analyse dimensionnelle donne la forme, jamais le préfacteur $k$.
Si la masse disparaît du système dimensionnel, c'est un résultat physique : la période du pendule n'en dépend effectivement pas.
$\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=-\omega^2\vec{r}_\perp$ : le vecteur pointe vers l'axe. C'est l'accélération centripète, on la retrouvera en semaine 9.
Vérifier l'homogénéité d'un résultat coûte dix secondes et rattrape la majorité des erreurs d'algèbre.

Erreurs classiques

Croire que l'analyse dimensionnelle donne la formule exacte : il manque toujours une constante sans dimension.
Mélanger les unités (km et m, g et kg) avant de conclure sur un ordre de grandeur.
Écrire $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ : le produit vectoriel n'est pas associatif.
Oublier qu'un angle est sans dimension : $\sin$, $\cos$, $\exp$ et $\ln$ n'acceptent que des arguments sans dimension.

Quelques flashcards

Quelle est la dimension de $G$ ?

$[G]=[L]^3[T]^{-2}[M]^{-1}$, imposée par l'homogénéité de $F_G=GM_1M_2/r^2$.

Que donne l'analyse dimensionnelle pour la période d'un pendule simple ?

$T=k\sqrt{l/g}$ : la masse n'y figure pas, et $k$ reste indéterminée (elle vaut $2\pi$).

Que représente $|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|$ ?

Le volume du parallélépipède construit sur $\vec{a}$, $\vec{b}$ et $\vec{c}$.

Quelle relation lie vitesse et position sans faire intervenir le temps ?

$v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$, valable uniquement si $a$ est constante.

Pourquoi le mouvement relatif de deux corps en chute libre est-il rectiligne uniforme ?

Les deux subissent la même accélération $\vec{g}$, donc l'accélération relative est nulle.

Comment traiter un mouvement à deux dimensions ?

En projetant sur chaque axe : les équations se découplent et se résolvent séparément.

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