Algèbre linéaire avancée I (MATH-110(b))

Algèbre linéaire avancée I (MATH-110(b)), cours de première année en Physique à l’EPFL, donné par Jérôme Scherer (7 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

Ch. 1 — Le langage des ensembles

1.1 Théorie des ensembles et axiomes usuels · 1.2 Opérations sur les ensembles · 1.3 Construction de N et successeur · 1.4 Principe de récurrence et variantes

Ch. 1.3-1.4 — Applications et cardinaux

2.1 Applications, injectivité, surjectivité · 2.2 Image directe f_*(X) et réciproque f^(-1)(Y) · 2.3 Composition et bijection réciproque · 2.4 Cardinal d'un ensemble, ensembles finis et infinis

Ch. 2.1 — Groupes abstraits

3.1 Loi de composition interne et associativité · 3.2 Neutre, inverse, structure (G, ⋆, e, inv) · 3.3 Groupes abéliens · 3.4 Exemples : Z, Q*, R>0, [0,1[ muni de l'addition modulo 1

Ch. 2.2 — Le groupe symétrique

4.1 S_n = Bij({1,…,n}) et son cardinal n! · 4.2 Notation en tableau et en cycles · 4.3 Décomposition en transpositions · 4.4 Signature et groupe alterné

Ch. 2.3-2.4 — Sous-groupes et morphismes

5.1 Sous-groupe et critère · 5.2 Sous-groupe engendré par une partie · 5.3 Morphismes de groupes, noyau, image · 5.4 Sous-groupes de Z et de Z²

Ch. 3 — Anneaux

6.1 Anneau (A, +, ·) et anneau commutatif · 6.2 Divisibilité : a | c ⟺ ∃b, c = ab · 6.3 Sous-anneau et morphisme d'anneaux · 6.4 Idéaux d'un anneau

Ch. 3.2-4.2 — Éléments inversibles, anneaux intègres, corps

7.1 Éléments inversibles et groupe A^× · 7.2 Anneau intègre : ab = 0 ⟹ a = 0 ou b = 0 · 7.3 Corps et premiers exemples · 7.4 Corps des fractions d'un anneau intègre

Ch. 4.3 & 5 — Caractéristique et nombres complexes

8.1 Morphisme canonique et son noyau qZ · 8.2 Caractéristique d'un corps (0 ou p premier) · 8.3 Sous-corps premier : Q ou F_p · 8.4 Construction matricielle de C et plan complexe

Ch. 6-7 — Espaces vectoriels et bases

9.1 Module sur un anneau, espace vectoriel sur un corps · 9.2 Sous-espace vectoriel et applications linéaires · 9.3 Famille génératrice, libre, base · 9.4 Dimension et théorème de la base incomplète

S10

Appendice A — L'anneau des polynômes

10.1 K[X] comme anneau et K-espace vectoriel · 10.2 Degré et coefficient dominant · 10.3 Division euclidienne dans K[X] · 10.4 Irréductibilité et identité de Bézout

S11

Ch. 8-9 — Applications linéaires et matrices

11.1 Théorème noyau-image (rang) · 11.2 Formes linéaires et dualité · 11.3 Matrice d'une application linéaire dans des bases · 11.4 Changement de base et matrices semblables

S12

Ch. 10 — Opérations élémentaires et échelonnage

12.1 Opérations élémentaires sur les lignes · 12.2 Échelonnage et forme réduite · 12.3 Rang d'une matrice · 12.4 Résolution des systèmes linéaires

S13

Ch. 11 — Déterminants

13.1 Formes multilinéaires · 13.2 Formes alternées et antisymétrie · 13.3 Déterminant : existence, unicité, formule de Leibniz · 13.4 det(AB) = det(A)det(B) et critère d'inversibilité

S14

Ch. 11.4 & 12 — Calcul de déterminants et Cayley-Hamilton

14.1 Développement de Laplace et matrices par blocs · 14.2 Polynôme caractéristique d'une matrice · 14.3 Polynôme caractéristique d'un endomorphisme · 14.4 Théorème de Cayley-Hamilton

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Le cours reconstruit les mathématiques depuis la théorie des ensembles : appartenance $\in$, inclusion $\subseteq$, et les axiomes qui évitent les paradoxes (celui de Russell notamment).
Opérations : réunion, intersection, différence, produit cartésien, ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$.
Les entiers sont construits par le **successeur** : $0=\emptyset$ et $n+1=\bigcup_{\{n,\{n\}\}}=\{0,1,\dots,n\}$ — un entier est donc l'ensemble de ses prédécesseurs.
**Principe de récurrence** : si $N\subseteq\mathbb{N}$ contient $n_0$ et est stable par successeur, alors $N$ contient tous les entiers $\geq n_0$.
Variantes utiles : récurrence forte (on suppose $P(k)$ pour tout $k\leq n$) et descente infinie.

Formules

$n+1=n\cup\{n\}=\{0,1,\dots,n\}$
$\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$
$|\mathcal{P}(E)|=2^{|E|}$

À savoir

La récurrence découle du bon ordre de $\mathbb{N}$ (toute partie non vide a un plus petit élément) : c'est ainsi qu'on la démontre en série.
Récurrence forte et récurrence simple sont logiquement équivalentes.
Le paradoxe de Russell interdit l'« ensemble de tous les ensembles ».

Erreurs classiques

Oublier l'initialisation, ou l'écrire au mauvais rang.
Confondre la propriété $P(n)$ et l'ensemble $N=\{n: P(n)\}$ sur lequel on raisonne.
Utiliser la récurrence sur un ensemble non bien ordonné.

Quelques flashcards

Comment le cours construit-il l'entier $n+1$ ?

Par le successeur : $n+1=n\cup\{n\}=\{0,1,\dots,n\}$.

Énoncer le principe de récurrence sous forme ensembliste.

Si $n_0\in N$ et ($n\in N\Rightarrow n+1\in N$), alors $N$ contient tous les entiers $\geq n_0$.

Différence entre récurrence simple et forte ?

La forte suppose $P(k)$ pour tout $k\leq n$ ; les deux sont équivalentes.

Définir l'image réciproque $f^{(-1)}(B)$.

$\{x\in X: f(x)\in B\}$ — définie sans hypothèse sur $f$.

L'image réciproque commute-t-elle avec l'intersection ?

Oui, ainsi qu'avec la réunion et le complémentaire.

Quand a-t-on $f_*(f^{(-1)}(B))=B$ pour toute partie $B$ ?

Exactement quand $f$ est surjective.

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