Analyse I (MATH-101(g))

Analyse I (MATH-101(g)), cours de première année en Science et Génie des matériaux à l’EPFL, donné par Sébastien Basterrechea (6 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

Fonctions d'une variable : révisions

1.1 Domaine de définition et image · 1.2 Graphe d'une fonction · 1.3 Fonctions élémentaires (exp, log, trigonométrie) · 1.4 Inéquations et valeur absolue

Ensembles, logique et fonctions

2.1 Ensembles et opérations (union, intersection, différence) · 2.2 Produit cartésien et quantificateurs · 2.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité · 2.4 Fonction réciproque et graphe

Méthodes de preuve : récurrence et absurde

3.1 Preuve par récurrence · 3.2 Preuve par l'absurde et contraposée · 3.3 Factorielle et coefficients binomiaux · 3.4 Binôme de Newton

Nombres réels : bornes et complétude

4.1 Majorants, minorants, ensembles bornés · 4.2 Supremum et infimum · 4.3 Maximum et minimum · 4.4 Axiome de la borne supérieure et densité de Q

Nombres complexes

5.1 Forme cartésienne, module et argument · 5.2 Forme polaire et exponentielle · 5.3 Racines n-ièmes · 5.4 Équations et factorisation de polynômes dans C

Suites réelles I : convergence

6.1 Convergence et unicité de la limite · 6.2 Théorème des deux gendarmes · 6.3 Suites monotones bornées · 6.4 Suites définies par récurrence

Suites réelles II : limsup, sous-suites, Cauchy

7.1 Limite supérieure et limite inférieure · 7.2 Sous-suites et valeurs d'adhérence · 7.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass · 7.4 Suites de Cauchy

Propriétés des fonctions réelles

8.1 Monotonie et composition · 8.2 Parité et périodicité · 8.3 Fonctions bornées · 8.4 Propriétés héritées par la réciproque

Limites de fonctions et continuité

9.1 Limite d'une fonction en un point · 9.2 Limites latérales et à l'infini · 9.3 Continuité en un point et sur un intervalle · 9.4 Prolongement par continuité et limites usuelles

S10

Théorèmes sur les fonctions continues

10.1 Théorème de la valeur intermédiaire · 10.2 Points fixes · 10.3 Théorème des bornes atteintes · 10.4 Continuité de la fonction réciproque

S11

Dérivabilité et théorèmes de la moyenne

11.1 Dérivée et dérivées latérales · 11.2 Règles de dérivation et dérivée de la réciproque · 11.3 Rolle et théorème des accroissements finis · 11.4 Règle de Bernoulli-L'Hôpital et continuité de la dérivée

S12

Développements limités et formule de Taylor

12.1 Formule de Taylor et reste · 12.2 Développements limités usuels · 12.3 Opérations sur les développements limités · 12.4 Applications : limites et extrema locaux

S13

Séries numériques et séries entières

13.1 Séries numériques et convergence · 13.2 Convergence absolue et critères (comparaison, d'Alembert, Leibniz) · 13.3 Séries entières et rayon de convergence · 13.4 Intervalle de convergence

S14

Intégration et théorème fondamental de l'analyse

14.1 Intégrale de Riemann et primitives · 14.2 Théorème fondamental de l'analyse · 14.3 Intégration par parties et changement de variable · 14.4 Intégrales impropres

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Le domaine de définition $D_f$ est l'ensemble des $x$ où l'expression de $f$ a un sens (dénominateurs non nuls, arguments de $\sqrt{\cdot}$ positifs, de $\log$ strictement positifs).
L'image $f(D)$ est l'ensemble des valeurs prises : $f(D) = \{f(x) : x \in D\}$.
Pour trouver l'image sur un intervalle fermé : étudier la monotonie (signe de $f'$ plus tard, ou par composition) et évaluer aux bornes et points critiques.
Fonctions de référence à connaître parfaitement : $e^x$, $\log x$, $\sin$, $\cos$, $\tan$, $x^n$, $\sqrt{x}$, $|x|$.
Inéquations avec valeur absolue : $|x| \le a \iff -a \le x \le a$ ; $|x| \ge a \iff x \le -a$ ou $x \ge a$.

Formules

$D_{\log} = \;]0,+\infty[$, $D_{\sqrt{\cdot}} = [0,+\infty[$
$|x| \le a \iff -a \le x \le a$
$e^{x+y} = e^x e^y$, $\log(xy) = \log x + \log y$

À savoir

L'image d'un intervalle fermé borné par une fonction continue est un intervalle fermé borné.
Le graphe de $f^{-1}$ est le symétrique du graphe de $f$ par rapport à la droite $y=x$.
$\log$ désigne le logarithme naturel dans tout le cours.

Erreurs classiques

Oublier d'exclure les zéros du dénominateur du domaine.
Écrire $\log(x+y) = \log x + \log y$ (faux).
Résoudre $|x| \ge a$ en ne gardant qu'une seule des deux branches.

Quelques flashcards

Domaine de définition de $x \mapsto \log(x^2-1)$ ?

$x^2-1>0$, soit $]-\infty,-1[\;\cup\;]1,+\infty[$.

Comment déterminer l'image de $f$ sur $[a,b]$ ?

Étudier la monotonie, évaluer $f$ aux bornes et aux points critiques.

Que signifie $|x-c| < \delta$ géométriquement ?

$x$ est à distance strictement inférieure à $\delta$ de $c$.

Définition de l'injectivité ?

$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ : deux points distincts ont des images distinctes.

Que dit la loi de De Morgan pour $\complement(A\cap B)$ ?

$\complement(A\cap B) = \complement A \cup \complement B$.

Quand $f^{-1}$ existe-t-elle comme fonction ?

Quand $f$ est bijective.

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