Algèbre linéaire (MATH-111(g))

Algèbre linéaire (MATH-111(g)), cours de première année en Science et Génie des matériaux à l’EPFL, donné par José Luis Zuleta Estrugo (6 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

1.1 Systèmes d'équations linéaires

1.1 Systèmes d'équations linéaires et matrice augmentée · 1.2 Compatibilité : 0, 1 ou une infinité de solutions · 1.3 Solution générale d'un système · 1.4 Interprétation géométrique (droites et plans)

1.2 Échelonnement et méthode de Gauss

2.1 Opérations élémentaires sur les lignes · 2.2 Forme échelonnée et forme échelonnée réduite · 2.3 Pivots et variables libres · 2.4 Existence et unicité des solutions

1.3-1.4 Vecteurs, combinaisons linéaires et équation Ax = b

3.1 Vecteurs de R^n et combinaisons linéaires · 3.2 Sous-ensemble engendré Vect{v1,...,vp} · 3.3 Équation matricielle Ax = b · 3.4 Indépendance linéaire

1.5 Applications linéaires : introduction

4.1 Définition d'une application linéaire · 4.2 Matrice canonique d'une application linéaire · 4.3 Noyau et image : premiers exemples · 4.4 Injectivité et surjectivité via les pivots

2.1-2.2 Calcul matriciel : opérations et inverse

5.1 Opérations matricielles et produit · 5.2 Transposée et ses propriétés · 5.3 Inverse d'une matrice carrée · 5.4 Caractérisation des matrices inversibles

2.3 Matrices élémentaires et factorisation LU

6.1 Matrices élémentaires et opérations sur les lignes · 6.2 Algorithme d'inversion par Gauss-Jordan · 6.3 Factorisation LU · 6.4 Résolution de Ax = b via LU

3. Déterminants et règle de Cramer

7.1 Déterminant par cofacteurs · 7.2 Déterminant et opérations élémentaires · 7.3 det(AB), det(A^T), det(A^{-1}) · 7.4 Règle de Cramer et volumes

4.1-4.2 Espaces vectoriels et sous-espaces

8.1 Axiomes d'un espace vectoriel · 8.2 Sous-espaces vectoriels · 8.3 Espaces de polynômes P_n et de matrices · 8.4 Noyau et image comme sous-espaces

4.3-4.5 Bases, coordonnées, dimension et rang

9.1 Bases d'un sous-espace · 9.2 Coordonnées dans une base · 9.3 Dimension d'un espace vectoriel · 9.4 Théorème du rang

S10

4.6-4.7 Matrice d'une application linéaire et changement de base

10.1 Matrice de T relative à des bases B et C · 10.2 Noyau et image d'une application linéaire générale · 10.3 Matrice de changement de base · 10.4 Applications entre espaces de fonctions et polynômes

S11

5. Valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation

11.1 Valeurs et vecteurs propres · 11.2 Polynôme caractéristique · 11.3 Espaces propres et multiplicités · 11.4 Diagonalisation et puissances de matrices

S12

6.1-6.2 Orthogonalité et projections

12.1 Produit scalaire et norme · 12.2 Ensembles orthogonaux et orthonormés · 12.3 Complément orthogonal · 12.4 Projection orthogonale sur un sous-espace

S13

6.3-6.5 Gram-Schmidt, factorisation QR et moindres carrés

13.1 Algorithme de Gram-Schmidt · 13.2 Factorisation QR · 13.3 Problème des moindres carrés · 13.4 Droite de régression

S14

7. Matrices symétriques et diagonalisation orthogonale

14.1 Matrices symétriques · 14.2 Diagonalisation orthogonale · 14.3 Théorème spectral · 14.4 Applications (formes quadratiques, SVD : ouverture)

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Un système linéaire de $m$ équations à $n$ inconnues s'écrit $Ax=b$ avec $A\in M_{m,n}(\mathbb{R})$.
On lui associe sa matrice augmentée $[A\mid b]$ : chaque ligne code une équation.
Trois cas possibles et seulement trois : aucune solution, une solution unique, une infinité de solutions.
Le système est dit compatible s'il admet au moins une solution.
La solution générale décrit toutes les solutions, en général à l'aide de paramètres libres.
Géométriquement : intersection de droites dans $\mathbb{R}^2$, de plans dans $\mathbb{R}^3$.

Formules

Système : $Ax = b$
Matrice augmentée : $[A \mid b]$
Compatibilité : $b \in \operatorname{Im}(A)$
Solution générale : $x = x_p + x_h$

À savoir

Un système linéaire n'a jamais exactement deux solutions.
Le système homogène $Ax=0$ est toujours compatible ($x=0$).
Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.

Erreurs classiques

Croire qu'un système avec plus d'inconnues que d'équations a toujours des solutions.
Oublier de vérifier la compatibilité avant de « résoudre ».
Confondre solution particulière et solution générale.
Se tromper de signe en passant une équation dans la matrice augmentée.

Quelques flashcards

Combien de solutions un système linéaire peut-il avoir ?

Zéro, une seule, ou une infinité — jamais un autre nombre.

Qu'est-ce que la matrice augmentée d'un système ?

La matrice $[A\mid b]$ qui juxtapose les coefficients et le second membre.

Quand dit-on qu'un système est compatible ?

Quand il admet au moins une solution.

Quelles opérations sur les lignes préservent les solutions ?

Échange, multiplication par un scalaire non nul, ajout d'un multiple d'une autre ligne.

Qu'est-ce qui distingue la forme réduite de la forme échelonnée ?

Pivots égaux à $1$ et seuls non nuls dans leur colonne.

La forme échelonnée réduite est-elle unique ?

Oui, elle est unique pour chaque matrice.

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