Algèbre linéaire (MATH-111(d)), cours de première année en Microtechnique à l’EPFL, donné par Sébastien Basterrechea, Giordano Favi (6 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.
mise en équation Ax=b · système homogène · système non homogène · compatibilité · solution particulière · solution homogène · structure générale x_p + x_h
matrices échelonnées · matrices échelonnées réduites · pivots · variables libres · opérations élémentaires sur les lignes · méthode de Gauss-Jordan
multiplication de matrices · compatibilité des dimensions · transposée · matrice symétrique · matrice antisymétrique · puissances de matrices
matrice inverse · matrices singulières · matrices élémentaires · opérations sur lignes et colonnes · applications linéaires et matrice associée
déterminant 2x2 · règle de Sarrus · développement de Laplace · cofacteurs · propriétés du déterminant · interprétation géométrique en aire et volume
sous-espace vectoriel · combinaison linéaire · sous-espace engendré (span) · dépendance linéaire · indépendance linéaire · base canonique
base · dimension · noyau · image · rang · théorème du rang · espace des lignes · stratégie pour trouver une base de Im(A)
définition Av=lambda v · polynôme caractéristique · racines du polynôme · multiplicité algébrique · trace · lien trace/déterminant/valeurs propres
espaces propres · multiplicité géométrique · matrices semblables · diagonalisation · critère de diagonalisabilité
A=PDP^-1 · base de vecteurs propres · interprétation des colonnes de P · changement de base · représentation d'une application linéaire dans une nouvelle base
produit scalaire · norme · distance · orthogonalité · sous-espaces orthogonaux · base orthogonale · base orthonormée
projection orthogonale · matrice orthogonale · procédé de Gram-Schmidt · factorisation QR · lien entre Q, R et la base orthonormée de Im(A)
projection sur Im(A) · équations normales ATAx=ATb · solution au sens des moindres carrés · condition d'unicité · droite de régression
matrices symétriques · espaces propres orthogonaux · théorème spectral · diagonalisation en base orthonormée · valeurs singulières · A^T A · décomposition SVD A=UΣV^T
- Un système linéaire s'écrit sous la forme $Ax = b$.
- Le système homogène associé est $Ax = 0$ ; son ensemble de solutions est le noyau de $A$.
- Un système non homogène est compatible s'il admet au moins une solution.
- Si le système est compatible, alors toute solution s'écrit
$$x = x_p + x_h$$
où $x_p$ est une solution particulière et $x_h$ une solution du système homogène.
- Géométriquement, résoudre $Ax=b$ revient à demander si $b$ est dans l'espace engendré par les colonnes de $A$.
Le système $Ax=0$.
Quand il admet au moins une solution.
$x=x_p+x_h$.
Le premier coefficient non nul d'une ligne non nulle en forme échelonnée.
Une inconnue liée à une colonne sans pivot.
Le rang.
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