Analyse avancée I – analyse réelle (MATH-100(a))

Analyse avancée I – analyse réelle (MATH-100(a)), cours de première année en Mathématiques à l’EPFL, donné par Nicolas Boumal (8 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

1. Les nombres réels

1.1 Axiomes de corps et conséquences élémentaires · 1.2 Relation d'ordre et compatibilité · 1.3 Valeur absolue et inégalité triangulaire · 1.4 Récurrence et sommes télescopiques

2. Borne supérieure et complétude

2.1 Majorants, minorants, sup et inf · 2.2 Axiome de la borne supérieure · 2.3 Propriété d'Archimède et densité de Q · 2.4 Existence de la racine carrée

3. Suites numériques

3.1 Définition ε-N de la convergence · 3.2 Unicité de la limite et opérations · 3.3 Théorème de la limite monotone · 3.4 Points d'accumulation d'une suite

4. Sous-suites, lim sup et suites de Cauchy

4.1 Sous-suites et théorème de Bolzano-Weierstrass · 4.2 Limite supérieure et limite inférieure · 4.3 Suites de Cauchy et complétude de R · 4.4 Suites récurrentes et points fixes

5. Séries numériques

5.1 Séries : sommes partielles et convergence · 5.2 Critères de comparaison, d'Alembert, Cauchy · 5.3 Convergence absolue et théorème de réarrangement · 5.4 Théorème de Cesàro

6. Limites de fonctions

6.1 Limite en un point : définition ε-δ · 6.2 Caractérisation séquentielle · 6.3 Limites de fonctions monotones · 6.4 Théorème des gendarmes et limites infinies

7. Continuité et continuité uniforme

7.1 Continuité en un point et sur un intervalle · 7.2 Opérations et composition de fonctions continues · 7.3 Continuité uniforme · 7.4 Théorème de Heine sur un compact

8. Théorèmes fondamentaux et dérivabilité

8.1 Théorème des valeurs intermédiaires · 8.2 Théorème des bornes atteintes · 8.3 Dérivabilité et interprétation · 8.4 Règles de dérivation et dérivée d'une réciproque

9. Accroissements finis et convexité

9.1 Théorème de Rolle · 9.2 Théorème des accroissements finis · 9.3 Variations et signe de la dérivée · 9.4 Convexité et inégalité des pentes

S10

10. Fonctions trigonométriques et convexité (suite)

10.1 Définition rigoureuse de sin et cos · 10.2 Dérivées et relations fondamentales · 10.3 Caractérisation de la convexité par la dérivée seconde · 10.4 Inégalité de Jensen et applications

S11

11. Exponentielle et séries entières

11.1 Construction de exp par sa série · 11.2 Équation fonctionnelle exp(x+y) = exp(x)exp(y) · 11.3 Séries entières et rayon de convergence · 11.4 Formule d'Hadamard

S12

12. Théorème d'Abel et intégrale de Riemann

12.1 Théorème d'Abel sur le cercle de convergence · 12.2 Subdivisions et sommes de Darboux · 12.3 Critère de Riemann-intégrabilité · 12.4 Fonctions intégrables non continues

S13

13. Théorème fondamental et techniques d'intégration

13.1 Théorème fondamental de l'analyse · 13.2 Intégration par parties · 13.3 Changement de variable · 13.4 Décomposition en éléments simples

S14

14. Intégrales impropres et synthèse

14.1 Intégrales impropres et convergence · 14.2 Comparaison série-intégrale · 14.3 Synthèse suites-séries-fonctions · 14.4 Préparation à l'examen final

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

$\mathbb{R}$ est axiomatisé comme un **corps totalement ordonné** : on ne « connaît » de lui que ses axiomes, tout le reste se démontre.
Conséquences à savoir redémontrer scrupuleusement : $-(-x)=x$, $0\cdot x=0$, $(-x)y=-(xy)$, et $x<y\Rightarrow x+z<y+z$.
Compatibilité de l'ordre : multiplier par un réel **négatif** renverse l'inégalité.
Valeur absolue : $|x|=\max(x,-x)$, avec l'inégalité triangulaire $|x+y|\leq|x|+|y|$ et sa variante $\big||x|-|y|\big|\leq|x-y|$.
Les sommes se calculent par récurrence ou par télescopage ; l'astuce classique $S-2S$ traite les sommes du type $\sum k\,2^k$.

Formules

$|x+y|\leq|x|+|y|$ et $\big||x|-|y|\big|\leq|x-y|$
$\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\neq1$

À savoir

En analyse avancée, « prouver scrupuleusement » signifie n'utiliser que les axiomes déjà posés.
Le télescopage $\sum(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1$ résout beaucoup de sommes.
Pour $S=\sum_{k=1}^{n}k2^k$, considérer $2S-S$ fait apparaître une série géométrique.

Erreurs classiques

Utiliser une propriété de $\mathbb{R}$ non encore démontrée (par exemple l'existence de $\sqrt{2}$).
Oublier de renverser l'inégalité en multipliant par un négatif.
Écrire $|x+y|=|x|+|y|$ sans hypothèse de même signe.

Quelques flashcards

Quels axiomes définissent $\mathbb{R}$ dans ce cours ?

Ceux d'un corps totalement ordonné, complété par l'axiome de la borne supérieure.

Énoncer la deuxième inégalité triangulaire.

$\big||x|-|y|\big|\leq|x-y|$.

Comment calculer $\sum_{k=1}^{n}k2^k$ ?

En formant $2S-S$, ce qui télescope vers une série géométrique.

Énoncer l'axiome de la borne supérieure.

Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure.

Caractérisation en $\varepsilon$ de $s=\sup A$ ?

$s$ majore $A$ et pour tout $\varepsilon>0$ il existe $a\in A$ avec $a>s-\varepsilon$.

Différence entre $\sup$ et $\max$ ?

Le max doit appartenir à l'ensemble, pas le sup.

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