Algèbre I – structures fondamentales (MATH-113)

Algèbre I – structures fondamentales (MATH-113), cours de première année en Mathématiques à l’EPFL, donné par Dimitri Wyss (4 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

1. Logique et méthodes de démonstration

1.1 Propositions et connecteurs logiques · 1.2 Tautologies et équivalences logiques · 1.3 Quantificateurs et leur négation · 1.4 Preuve directe, contraposée, absurde, récurrence

2. Ensembles et opérations

2.1 Appartenance, inclusion, égalité par double inclusion · 2.2 Union, intersection, différence, complémentaire · 2.3 Lois de De Morgan et distributivité · 2.4 Ensemble des parties et produit cartésien

3. Applications

3.1 Application, domaine, image · 3.2 Injection, surjection, bijection · 3.3 Composition et application réciproque · 3.4 Image directe et image réciproque d'une partie

4. Relations d'équivalence

4.1 Relations binaires : réflexivité, symétrie, transitivité · 4.2 Classes d'équivalence · 4.3 Correspondance relations d'équivalence ↔ partitions · 4.4 Ensemble quotient et factorisation d'une application

5. Arithmétique de Z et cardinalité

5.1 Division euclidienne et pgcd · 5.2 Théorème de Bézout et algorithme d'Euclide · 5.3 Équipotence et ensembles dénombrables · 5.4 Théorème de Cantor-Schröder-Bernstein

6. Groupes : définition et premières propriétés

6.1 Loi de composition interne et axiomes de groupe · 6.2 Unicité du neutre et de l'inverse · 6.3 Groupes abéliens et ordre d'un groupe · 6.4 Exemples : Z, Z/nZ, S_n, GL_n(K), groupe diédral

7. Homomorphismes et ordre d'un élément

7.1 Homomorphisme de groupes · 7.2 Noyau, image et critère d'injectivité · 7.3 Puissances entières et ordre d'un élément · 7.4 o(g) | m ⟺ g^m = e

8. Isomorphismes et groupes cycliques

8.1 Isomorphisme et classification à isomorphisme près · 8.2 Groupes cycliques et Z/nZ · 8.3 End(Z/nZ) et automorphismes · 8.4 Z/4Z contre Z/2Z × Z/2Z

9. Sous-groupes engendrés et centre

9.1 Sous-groupe et critère de sous-groupe · 9.2 Sous-groupe engendré par une partie · 9.3 o(g) = |⟨g⟩| · 9.4 Centre Z(G) et centralisateurs

S10

10. Permutations, signature et conjugaison

10.1 Décomposition en cycles à supports disjoints · 10.2 Transpositions et signature · 10.3 Groupe alterné A_n · 10.4 Classes de conjugaison et type cyclique

S11

11. Centre de S_n, action par conjugaison

11.1 Z(G) = réunion des classes de conjugaison singletons · 11.2 Z(S_n) = {e} pour n ≥ 3 · 11.3 Z(A_n) = {e} pour n ≥ 4 · 11.4 Équation aux classes

S12

12. Sous-groupes normaux

12.1 Définition de la normalité · 12.2 Préimage d'un sous-groupe (normal) · 12.3 Image directe d'un sous-groupe · 12.4 Noyau d'un morphisme et normalité

S13

13. Groupes quotients et produits

13.1 Classes à gauche et théorème de Lagrange · 13.2 Construction du groupe quotient G/N · 13.3 Propriété universelle du quotient · 13.4 Produit direct interne : ⟨H₁ ∪ H₂⟩ = G et H₁ ∩ H₂ = {e}

S14

14. Théorèmes d'isomorphisme

14.1 Premier théorème d'isomorphisme G/ker(f) ≅ Im(f) · 14.2 Deuxième et troisième théorèmes d'isomorphisme · 14.3 Sous-groupes de Z : aZ + bZ = pgcd(a,b)Z · 14.4 aZ ∩ bZ = ppcm(a,b)Z et conséquences

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer exactement une valeur de vérité ; les connecteurs $\neg,\wedge,\vee,\Rightarrow,\Leftrightarrow$ en construisent de nouvelles.
Une **tautologie** est une proposition vraie pour toutes les valeurs de ses variables ; on la vérifie par table de vérité ou par calcul propositionnel.
$P\Rightarrow Q$ est faux dans un seul cas : $P$ vrai et $Q$ faux. En particulier une implication à prémisse fausse est toujours vraie (*ex falso quodlibet* : $P\wedge\neg P\Rightarrow Q$).
Nier un quantificateur l'échange : $\neg(\forall x\, P(x))\equiv \exists x\,\neg P(x)$ et $\neg(\exists x\, P(x))\equiv \forall x\,\neg P(x)$.
Quatre schémas de preuve à maîtriser : directe, par contraposée ($\neg Q\Rightarrow\neg P$), par l'absurde, et par récurrence.

Formules

Contraposée : $(P\Rightarrow Q)\equiv(\neg Q\Rightarrow\neg P)$
De Morgan : $\neg(P\wedge Q)\equiv\neg P\vee\neg Q$
Modus ponens : $\big(P\wedge(P\Rightarrow Q)\big)\Rightarrow Q$

À savoir

$P\Rightarrow Q$ n'est PAS $Q\Rightarrow P$ : la réciproque est une autre proposition.
L'ordre des quantificateurs compte : $\forall x\exists y$ et $\exists y\forall x$ n'ont pas le même sens.
La récurrence exige l'initialisation ET l'hérédité ; oublier l'une invalide toute la preuve.

Erreurs classiques

Confondre contraposée et réciproque.
Nier $\forall x\, P(x)$ en $\forall x\,\neg P(x)$ au lieu de $\exists x\,\neg P(x)$.
Utiliser l'hypothèse de récurrence au rang $n+1$ au lieu du rang $n$.

Quelques flashcards

Quand $P\Rightarrow Q$ est-elle fausse ?

Uniquement quand $P$ est vraie et $Q$ fausse.

Contraposée de $P\Rightarrow Q$ ?

$\neg Q\Rightarrow\neg P$ — elle lui est logiquement équivalente.

Négation de $\forall x\, P(x)$ ?

$\exists x\,\neg P(x)$.

Comment démontre-t-on $A=B$ pour deux ensembles ?

Par double inclusion : $A\subseteq B$ puis $B\subseteq A$.

Cardinal de $\mathcal{P}(A)$ si $|A|=n$ ?

$2^n$.

Énoncer une loi de De Morgan ensembliste.

$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$.

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