Analyse I (MATH-101(e))

Analyse I (MATH-101(e)), cours de première année en Informatique à l’EPFL, donné par Anna Lachowska (6 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

Logique, ensembles et fonctions

1.1 Logique et quantificateurs · 1.2 Ensembles et opérations · 1.3 Fonctions : injectivité, surjectivité, bijectivité · 1.4 Preuves : récurrence et absurde

Nombres réels : bornes et complétude

2.1 Intervalles et valeur absolue · 2.2 Majorants, minorants, ensembles bornés · 2.3 Supremum et infimum · 2.4 Complétude de R

Nombres complexes

3.1 Forme cartésienne, module, conjugué · 3.2 Forme polaire et exponentielle · 3.3 Racines n-ièmes · 3.4 Équations et polynômes dans C

Suites : définition et limites

4.1 Définition de la limite d'une suite · 4.2 Opérations sur les limites · 4.3 Théorème des deux gendarmes · 4.4 Limites de référence

Suites monotones, récurrentes et sous-suites

5.1 Suites monotones bornées · 5.2 Suites définies par récurrence · 5.3 Sous-suites et Bolzano-Weierstrass · 5.4 Limites supérieure et inférieure

Suites de Cauchy et séries numériques

6.1 Suites de Cauchy · 6.2 Séries numériques et sommes partielles · 6.3 Convergence absolue · 6.4 Critères : comparaison, d'Alembert, Leibniz

Limites de fonctions

7.1 Limite d'une fonction en un point · 7.2 Limites latérales et à l'infini · 7.3 Croissances comparées · 7.4 Propriétés des fonctions (monotonie, parité, réciproque)

Continuité

8.1 Continuité en un point · 8.2 Opérations et composition de fonctions continues · 8.3 Prolongement par continuité · 8.4 Fonctions définies par morceaux

Théorèmes sur les fonctions continues

9.1 Théorème de la valeur intermédiaire · 9.2 Théorème des bornes atteintes · 9.3 Points fixes · 9.4 Continuité de la réciproque

S10

Dérivabilité

10.1 Dérivée et dérivées latérales · 10.2 Règles de dérivation et réciproque · 10.3 Rolle et théorème des accroissements finis · 10.4 Fonctions de classe C^1

S11

Formule de Taylor et développements limités

11.1 Formule de Taylor · 11.2 Développements limités usuels · 11.3 Opérations sur les DL · 11.4 Applications

S12

Séries entières

12.1 Séries entières · 12.2 Rayon de convergence · 12.3 Intervalle de convergence · 12.4 Développements en série entière

S13

Techniques d'intégration

13.1 Primitives et intégrale de Riemann · 13.2 Théorème fondamental de l'analyse · 13.3 IPP et changement de variable · 13.4 Fractions rationnelles et éléments simples

S14

Intégrales impropres et synthèse

14.1 Intégrales impropres · 14.2 Critères de convergence · 14.3 Synthèse du semestre · 14.4 Préparation à l'examen

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Un ensemble est décrit en extension ($\{1,2,3\}$) ou en compréhension ($\{x \in E : P(x)\}$).
Opérations : union $A\cup B$, intersection $A\cap B$, différence $A\setminus B$, complémentaire $\complement_E A = E\setminus A$.
Lois de De Morgan : $\complement(A\cap B) = \complement A\cup\complement B$ et $\complement(A\cup B) = \complement A\cap\complement B$.
Produit cartésien : $A\times B = \{(a,b) : a\in A, b\in B\}$ — couples ordonnés.
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout), $\exists$ (il existe) ; la négation échange $\forall$ et $\exists$ et nie le prédicat.

Formules

De Morgan : $\complement(A\cap B) = \complement A \cup \complement B$
$A\setminus B = A \cap \complement B$
$\neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x)$

À savoir

$A \subset B \iff A\cap B = A \iff A\cup B = B$.
Le produit cartésien n'est pas commutatif.
Distributivité : $A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)$.

Erreurs classiques

Échanger $\cup$ et $\cap$ en appliquant De Morgan.
Nier une implication en niant les deux membres.
Confondre $\in$ (appartenance) et $\subset$ (inclusion).

Quelques flashcards

Loi de De Morgan pour $\complement(A\cup B)$ ?

$\complement A \cap \complement B$.

Comment nier $\forall x, P(x)$ ?

$\exists x$ tel que $\neg P(x)$.

$A\setminus B$ en fonction de $\cap$ ?

$A\cap\complement B$.

Idée de la preuve de l'irrationalité de $\sqrt2$ ?

Absurde : $\sqrt2 = p/q$ irréductible force $p$ et $q$ pairs, contradiction.

Définition du supremum ?

Le plus petit des majorants.

$\{x : |x+1|\le 1\}$ en intervalle ?

$[-2, 0]$.

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