Algèbre linéaire (MATH-111(e))

Algèbre linéaire (MATH-111(e)), cours de première année en Informatique à l’EPFL, donné par Samuel Senti (6 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

1.1-1.2 Systèmes linéaires et échelonnement

1.1 Systèmes d'équations linéaires · 1.2 Méthode de Gauss et matrice augmentée · 1.3 Formes échelonnée et échelonnée réduite · 1.4 Pivots et variables libres

1.3-1.5 Vecteurs, équation Ax = b et ensembles de solutions

2.1 Vecteurs et combinaisons linéaires · 2.2 Vect et équation vectorielle · 2.3 Équation matricielle Ax = b · 2.4 Structure des ensembles de solutions

1.7-1.9 Indépendance linéaire et applications linéaires

3.1 Indépendance linéaire · 3.2 Applications linéaires : définition · 3.3 Matrice canonique · 3.4 Injectivité et surjectivité

1.9-2.2 Calcul matriciel et inverse

4.1 Opérations et produit matriciels · 4.2 Transposée · 4.3 Inverse d'une matrice · 4.4 Algorithme de Gauss-Jordan pour l'inverse

2.3-3.2 Caractérisations de l'inversibilité et déterminants

5.1 Théorème de la matrice inversible · 5.2 Factorisation LU · 5.3 Déterminant par cofacteurs · 5.4 Déterminant et opérations sur les lignes

3.3-4.2 Déterminants (suite), espaces vectoriels et sous-espaces

6.1 Règle de Cramer et volumes · 6.2 Espaces vectoriels : axiomes · 6.3 Sous-espaces vectoriels · 6.4 Noyau et image

4.3-4.5 Bases, coordonnées et dimension

7.1 Bases d'un sous-espace · 7.2 Coordonnées dans une base · 7.3 Dimension · 7.4 Bases de Nul(A) et Col(A)

4.6-5.2 Rang, changement de base et valeurs propres (début)

8.1 Rang et théorème du rang · 8.2 Changement de base · 8.3 Valeurs et vecteurs propres : définition · 8.4 Espaces propres

5.1-5.3 Valeurs propres et diagonalisation

9.1 Polynôme caractéristique · 9.2 Multiplicités algébrique et géométrique · 9.3 Critères de diagonalisabilité · 9.4 Puissances de matrices

S10

5.3-6.1 Diagonalisation (suite) et produit scalaire

10.1 Diagonalisation : applications · 10.2 Valeurs propres et applications linéaires · 10.3 Produit scalaire et norme · 10.4 Orthogonalité : premières propriétés

S11

6.1-6.3 Orthogonalité et projections

11.1 Complément orthogonal · 11.2 Ensembles et bases orthogonaux · 11.3 Projection orthogonale · 11.4 Décomposition orthogonale

S12

6.4-6.6 Gram-Schmidt, QR et moindres carrés

12.1 Algorithme de Gram-Schmidt · 12.2 Factorisation QR · 12.3 Moindres carrés et équations normales · 12.4 Droite de régression

S13

7.1 Matrices symétriques et diagonalisation orthogonale

13.1 Matrices symétriques · 13.2 Matrices orthogonales · 13.3 Diagonalisation orthogonale · 13.4 Théorème spectral

S14

Révision et préparation à l'examen

14.1 Synthèse du semestre · 14.2 Théorème de la matrice inversible (bilan complet) · 14.3 Stratégie QCM et vrai-faux · 14.4 Examen blanc

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Un système linéaire de $m$ équations à $n$ inconnues s'écrit $Ax=b$ avec $A\in M_{m,n}(\mathbb{R})$.
On lui associe sa matrice augmentée $[A\mid b]$ : chaque ligne code une équation.
Trois cas possibles et seulement trois : aucune solution, une solution unique, une infinité de solutions.
Le système est dit compatible s'il admet au moins une solution.
La solution générale décrit toutes les solutions, en général à l'aide de paramètres libres.
Géométriquement : intersection de droites dans $\mathbb{R}^2$, de plans dans $\mathbb{R}^3$.

Formules

Système : $Ax = b$
Matrice augmentée : $[A \mid b]$
Compatibilité : $b \in \operatorname{Im}(A)$
Solution générale : $x = x_p + x_h$

À savoir

Un système linéaire n'a jamais exactement deux solutions.
Le système homogène $Ax=0$ est toujours compatible ($x=0$).
Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.

Erreurs classiques

Croire qu'un système avec plus d'inconnues que d'équations a toujours des solutions.
Oublier de vérifier la compatibilité avant de « résoudre ».
Confondre solution particulière et solution générale.
Se tromper de signe en passant une équation dans la matrice augmentée.

Quelques flashcards

Combien de solutions un système linéaire peut-il avoir ?

Zéro, une seule, ou une infinité — jamais un autre nombre.

Qu'est-ce que la matrice augmentée d'un système ?

La matrice $[A\mid b]$ qui juxtapose les coefficients et le second membre.

Quand dit-on qu'un système est compatible ?

Quand il admet au moins une solution.

Que signifie $b\in\operatorname{Vect}\{v_1,\dots,v_p\}$ ?

$b$ est combinaison linéaire des $v_i$.

Comment tester cette appartenance en pratique ?

Échelonner la matrice augmentée $[v_1\cdots v_p\mid b]$ et vérifier la compatibilité.

$Ax$ en termes des colonnes de $A$ ?

Combinaison linéaire des colonnes, coefficients $x_i$.

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