Physique générale : mécanique (PHYS-101(d))

L’essentiel

• Les vecteurs se manipulent par addition, soustraction, produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte et produit triple.
• En cinématique, la position est donnée par le rayon vecteur $\vec r(t)$, la vitesse par $\vec v(t)=\dot{\vec r}(t)$ et l'accélération par $\vec a(t)=\ddot{\vec r}(t)$.
• Le produit scalaire relie géométrie et coordonnées ; le produit vectoriel donne une aire orientée ; le produit mixte donne un volume orienté.
• La règle de Leibniz permet de dériver des produits scalaires et vectoriels dépendant du temps.

Formules

• $\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$
• $\vec a\cdot \vec b = \|\vec a\|\,\|\vec b\|\cos\alpha = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
• $\vec a\wedge \vec b$ : norme = aire du parallélogramme
• $\vec a\cdot (\vec b\wedge \vec c)=\det(\vec a,\vec b,\vec c)$
• $\vec a\wedge(\vec b\wedge \vec c)=(\vec a\cdot \vec c)\vec b-(\vec a\cdot \vec b)\vec c$
• $\vec v=\dot{\vec r}$, $\vec a=\ddot{\vec r}$
• $\dfrac{d}{dt}(\vec a\cdot \vec b)=\dot{\vec a}\cdot \vec b+\vec a\cdot \dot{\vec b}$
• $\dfrac{d}{dt}(\vec a\wedge \vec b)=\dot{\vec a}\wedge \vec b+\vec a\wedge \dot{\vec b}$

À savoir

• Toujours commencer par écrire clairement les vecteurs dans une base.
• Les produits vectoriels et mixtes sont très utiles pour les aires, volumes et coplanarité.
• En cinématique, le paramétrage correct de $\vec r(t)$ est la base de tout.

Erreurs classiques

• Confondre points et vecteurs.
• Oublier qu'un produit vectoriel n'est pas commutatif.
• Dériver une norme ou un angle sans passer par les vecteurs.
• Oublier qu'une trajectoire et une équation horaire sont deux objets différents.