Analyse I (MATH-101(c))

Analyse I (MATH-101(c)), cours de première année en Génie mécanique à l’EPFL, donné par Sacha Friedli (6 crédits). Sur BA1 Planner : 14 fiches de révision et 70 flashcards.

Programme, semaine par semaine

Chapitre 1 - Nombres réels et notions de base

majoré et minoré · ensemble borné · supremum et infimum · maximum et minimum · image d'une fonction · injective / surjective / bijective · distance · inégalité triangulaire

Chapitre 2 - Nombres complexes

forme algébrique x+iy · conjugaison et module · argument · forme trigonométrique · forme exponentielle · formule d'Euler · formule de Moivre · racines n-ièmes · théorème fondamental de l'algèbre

Chapitre 3 - Suites réelles I

suites bornées · majorants / minorants · suites monotones · convergence · unicité de la limite · gendarmes · comportements de suites usuelles

Chapitre 4 - Suites définies par récurrence

suites u(n+1)=g(u_n) · méthode des premiers termes · bornée + monotone · recherche du point fixe · approche graphique · suites de Cauchy · stratégie d'étude d'une suite récurrente

Chapitre 5 - Séries numériques

sommes partielles · convergence et divergence · condition nécessaire a_n -> 0 · série géométrique · série harmonique · critère de Leibniz · séries télescopiques · propriétés algébriques des séries convergentes

Chapitre 6 - Fonctions réelles

monotonie · croissance / décroissance · parité · périodicité · maximum global · minimum global · extrema sur un intervalle compact

Chapitre 7 - Limites de fonctions

définition de la limite · voisinage · limites latérales · caractérisation séquentielle · théorème des gendarmes · calcul de limites · opérations sur les limites

Chapitre 8 - Continuité

continuité en un point · continuité sur un intervalle · continuité latérale · prolongement par continuité · continuité sur [a,b] · fonction continue sur compact · bornitude

Chapitre 9 - Dérivée et calcul différentiel I

définition de la dérivée · dérivabilité · dérivabilité implique continuité · dérivées latérales · dérivées d'ordre supérieur

S10

Chapitre 9 - Dérivée et calcul différentiel II

théorème de Rolle · théorème des accroissements finis · généralisation du TAF · règle de Bernoulli-L'Hospital · dérivée seconde · convexité · concavité

S11

Chapitre 10 - Développements limités

définition d'un DL · unicité · opérations sur les DL · formule de Taylor · utilisation des DL dans les limites · composition de DL

S12

Chapitre 11 - Séries entières et séries de Taylor

série entière · rayon de convergence · domaine de convergence · représentation d'une fonction par série · séries usuelles exp / log / sin / cos / cosh / sinh · lien avec Taylor

S13

Chapitre 12 - Intégrale

subdivisions · sommes de Darboux · intégrabilité de Riemann · propriétés de l'intégrale · théorème de la moyenne · primitives · théorème fondamental de l'analyse · intégration par parties · changement de variable

S14

Chapitre 13-14 - Intégrales généralisées et compléments

intégrales généralisées type I · type II · critère de comparaison · critère du quotient · lien séries-intégrales · compléments de trigo · dérivées et primitives usuelles · factorisations utiles

Fiche de révision : semaine 1

L’essentiel

Un ensemble est majoré s'il admet un majorant, minoré s'il admet un minorant, et borné s'il est à la fois majoré et minoré.
Le supremum $\sup A$ est le plus petit des majorants de $A$ ; l'infimum $\inf A$ est le plus grand des minorants.
Un maximum (resp. minimum) est une valeur de l'ensemble, alors que le supremum (resp. infimum) n'est pas forcément atteint.
L'image d'une fonction $f$ sur un ensemble $E$ est $f(E)=\{f(x)\mid x\in E\}$.
Une fonction est injective si deux antécédents distincts ne peuvent pas avoir la même image ; surjective si toute valeur du codomaine est atteinte ; bijective si elle est injective et surjective.
La distance sur $\mathbb{R}$ est donnée par la valeur absolue ; l'inégalité triangulaire contrôle les écarts.

Formules

$d(x,y)=|x-y|$
$|x-z|\le |x-y|+|y-z|$
$\sup(A\cup B)=\max(\sup A,\sup B)$ lorsque $A$ et $B$ sont majorés
$\inf(A\cup B)=\min(\inf A,\inf B)$ lorsque $A$ et $B$ sont minorés

À savoir

Ne pas confondre supremum et maximum.
Une fonction bijective admet une fonction réciproque.
L'image d'un ensemble n'est pas le codomaine.

Erreurs classiques

Écrire "$\sup A\in A$" sans justification.
Confondre ensemble borné et ensemble majoré.
Confondre injective et surjective.
Oublier que le supremum est défini à partir des majorants : il n'appartient pas forcément à l'ensemble.

Quelques flashcards

Quelle différence entre $\sup A$ et $\max A$ ?

$\max A$ appartient à $A$, alors que $\sup A$ n'est pas forcément atteint.

Que signifie "$A$ est borné" ?

$A$ est à la fois majoré et minoré.

Définition d'une fonction injective ?

$f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$.

Forme algébrique d'un complexe ?

$z=x+iy$.

Module de $z=x+iy$ ?

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Conjugué de $x+iy$ ?

$x-iy$.

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